Cet article propose une série d’exercices corrigés portant sur les nombres réels. Il aborde principalement les notions de plus grand et plus petit élément d’une partie de \( \mathbb{R} \), de borne supérieure, de borne inférieure, de partie entière, ainsi que de densité de certaines parties de \( \mathbb{R} \).
Il s’adresse prioritairement aux étudiants des classes préparatoires scientifiques (CPGE) — MPSI, MP2I, PCSI, PTSI, TSI — mais convient également aux élèves en prépa intégrée ou en première année d’université (L1, bac+1).
L’objectif est de consolider la compréhension des concepts fondamentaux tout en offrant une préparation efficace aux devoirs surveillés, examens et concours.
Exercice 1 ⭐️
Montrer que : \( \forall (x, y) \in \mathbb{R}^2, \ \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leq \lfloor x + y \rfloor \leq \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1 \).
Indications
Corrigé
Exercice 2 ⭐️
- Montrer que : \( \forall n \in \mathbb{N}^*, \forall x \in \mathbb{R}, \ \left\lfloor \frac{\lfloor nx \rfloor}{n} \right\rfloor = \lfloor x \rfloor \)
- Soient \(n, p, m\) trois entiers naturels non nuls et \(x\) un réel.
Montrer que : \( \left\lfloor \frac{x}{mnp} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{1}{n} \left\lfloor \frac{1}{m} \left\lfloor \frac{x}{p} \right\rfloor \right\rfloor \right\rfloor \)
Indications
Corrigé
Exercice 3 ⭐️
Montrer que : \( \displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^*, \forall x \in \mathbb{R}, \ \sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor x + \frac{k}{n} \right\rfloor = \lfloor nx \rfloor \).
Indications
Corrigé
Exercice 4 ⭐️
On pose \(\mathbb{Z}[\sqrt{2}] = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \}\)
- Montrer que \(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\) est stable par addition et par multiplication.
- On pose \(q = \sqrt{2} – 1\). Montrer que pour tous \(a, b \in \mathbb{R}\) tels que \(a < b\), il existe \(n \in \mathbb{N}^*\) vérifiant \(0 < q^n < b – a\)
- Montrer que pour tous \(a, b \in \mathbb{R}\) tels que \(a < b\), il existe \(m \in \mathbb{Z}\) vérifiant \(a < m q^n < b\)
- En déduire que \(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\) est dense dans \(\mathbb{R}\)
Indications
Corrigé
Exercice 5 ⭐️
Soit \(f\) une fonction croissante de \([0 , 1]\) dans lui-même.
On considère l’ensemble \(E = \{ x \in [0 , 1] \mid f(x) \geq x \}\)
- Montrer que \(E\) possède une borne supérieure \(b\)
- Montrer que \(f(b) = b\).
Indications
Dans la question 2 on pourra étudier les deux cas : \(f(b) > b\) et \(f(b) < b\)
Corrigé
Exercice 6 ⭐️
On considère la fonction \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par : \(
f(x) =
\begin{cases}
|x| & \text{si } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \\\\
|x| + 1 & \text{si } x \in \mathbb{Q}
\end{cases}
\)
On pose \(A = \{ f(x) \mid x \in \mathbb{R} \}\)
- L’ensemble \(A\) admet-il une borne supérieure
- a) Justifier que \(A\) admet une borne inférieure.
b) Déterminer \(\inf A\).
Indications
Corrigé
Exercice 7 ⭐️
Soient \(a\) et \(b\) deux rationnels positifs tels que \(\sqrt{a}\) et \(\sqrt{b}\) soient irrationnels.
Montrer que \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) est irrationnel.
Indications
Corrigé
Exercice 8 ⭐️
Soit \(A = \left\{ \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \mid (n, m) \in (\mathbb{N}^*)^2 \right\}\)
- Montrer que \(A\) est borné.
- Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure de \(A\).
Indications
Corrigé
Exercice 9 ⭐️
Soit \( A = \left\{ \left. \frac{x}{\lfloor x \lfloor x \rfloor \rfloor} \, \right|\, x \in [1, +\infty[ \right\} \)
- Montrer que \( A \) est borné.
- Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure de \( A \).
Indications
Corrigé
Exercice 10 ⭐️
On considère l’ensemble \( A = \left\{ \frac{\lfloor n \sqrt{2} \rfloor}{n} \mid n \in \mathbb{N}^* \right\} \)
- a) Montrer que \( A \) est minoré par 1.
b) En déduire \( \inf A \). - a) Montrer que \( \forall n \in \mathbb{N}^*, \ \sqrt{2} – \frac{1}{n} < \frac{\lfloor n \sqrt{2} \rfloor}{n} \leq \sqrt{2} \).
b) Justifier que \( A \) admet une borne supérieure.
c) Déterminer \( \sup A \).
d) \( A \) admet-elle un plus grand élément ?
Indications
Corrigé
Exercice 11 ⭐️
Soit \( A \) une partie non vide et bornée de \( \mathbb{R} \).
Montrer que : \( \displaystyle
\sup_{(x, y) \in A^2} |x – y| = \sup(A) – \inf(A)
\)
Indications
Corrigé
Exercice 12 ⭐️
Soit \( A \) une partie majorée de \( \mathbb{R} \) contenant au moins deux éléments, et soit \( a \in A \).
- Montrer que si \( \sup(A \setminus \{a\}) > a \), alors \( \sup(A \setminus \{a\}) = \sup(A) \).
- Montrer que si \( \sup(A \setminus \{a\}) < \sup(A) \), alors \( \sup(A) = a \).
Indications
Corrigé
Exercice 13 ⭐️
Soit \( A = \left\{ \frac{m}{2^n} \mid (m, n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N} \right\} \)
- Montrer que : \( \forall (a, b) \in \mathbb{R}^2, \ a + 1 < b \Rightarrow \exists q \in \mathbb{Z}, \ a < q < b \).
- Montrer que : \( \forall \varepsilon > 0, \ \exists n \in \mathbb{N}, \ 1 < 2^n \varepsilon \).
- En déduire que : \( \forall (x, y) \in \mathbb{R}^2, \ x < y \Rightarrow \exists n \in \mathbb{N}, \ 2^n x + 1 < 2^n y \).
- Montrer que \( A \) est dense dans \( \mathbb{R} \).
Indications
Corrigé
Exercice 14 ⭐️
On pose \( A = \left\{ \left| z^3 + 2i z \right| \mid z \in \mathbb{C} \text{ et } |z| \leq 1 \right\} \)
- Montrer que \( A \) possède une borne supérieure et une borne inférieure.
- Déterminer \( \sup(A) \).
- Déterminer \( \inf(A) \).
Indications
Corrigé
Exercice 15 ⭐️
Soient \( A \) et \( B \) deux parties non vides et majorées de \( ]0, +\infty[ \). On note \( AB = \{ ab \mid a \in A, b \in B \} \)
- Montrer que \( AB \) possède une borne supérieure.
- Déterminer \( \sup(AB) \).
Indications
Corrigé
Exercice 16 ⭐️
Soient \( A \) et \( B \) deux parties non vides de \( ]0, +\infty[ \).
- On suppose que \( A \) est majorée et que \( B \) admet un minorant strictement positif. On note : \(
\frac{A}{B} = \left\{ \frac{a}{b} \mid a \in A, b \in B \right\}
\)
a) Montrer que \( \frac{A}{B} \) possède une borne supérieure.
b) Déterminer \( \sup\left(\frac{A}{B}\right) \). - On suppose que \( B \) est majorée.
a) Montrer que \( \frac{A}{B} \) possède une borne inférieure.
b) Déterminer \( \inf\left(\frac{A}{B}\right) \).
Indications
Corrigé
Exercice 17 ⭐️
Soient \( A \) et \( B \) deux parties non vides de \( \mathbb{R} \). On note \( A + B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B \} \)
- On suppose que \( A \) et \( B \) sont majorées.
a) Montrer que \( A + B \) possède une borne supérieure.
b) Déterminer \( \sup(A + B) \) en fonction de \( \sup(A) \) et \( \sup(B) \). - On suppose que \( A \) et \( B \) sont minorées.
a) Montrer que \( A + B \) possède une borne inférieure.
b) Déterminer \( \inf(A + B) \).
Indications
Corrigé
Exercice 18 ⭐️
Soit \( f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \) une application telle que : \( \displaystyle
\forall n \in \mathbb{N}, \quad f(f(n)) < f(n + 1)
\)
On veut montrer que \( f = \mathrm{Id}_{\mathbb{N}} \).
- Montrer que \( \forall n \in \mathbb{N}, \ \forall x \geq n, \ f(x) \geq n \).
- Soit \( n \) un entier naturel. Montrer que \( f(n) \) est le plus petit élément de \( \{ f(x) \mid x \geq n \} \).
- En déduire que \( f \) est strictement croissante, puis conclure.
Indications
Corrigé
Exercice 19 ⭐️ (Classification des sous-groupes additifs de \( \mathbb{R} \)
Pour un réel strictement positif \( \alpha > 0 \), on note : \(
\alpha \mathbb{Z} = \{ k\alpha \mid k \in \mathbb{Z} \}
\)
- Montrer que \( \forall \alpha > 0 \), la partie \( \alpha \mathbb{Z} \) est un sous-groupe du groupe \( (\mathbb{R}, +) \).
- Montrer que \( \mathbb{Q} \) est un sous-groupe du groupe \( (\mathbb{R}, +) \).
On considère maintenant un sous-groupe \( G \) de \( (\mathbb{R}, +) \). On souhaite montrer que si \( G \) n’est pas de la forme \( \alpha \mathbb{Z} \) avec \( \alpha > 0 \), alors \( G \) est dense dans \( \mathbb{R} \). On pose : \( G_+^* = G \cap ]0, +\infty[ = \{ x \in G \mid x > 0 \}\) - Supposons que \( G \neq \{0\} \). Montrer que \( G_+^* \) est non vide, et qu’il admet une borne inférieure \( \alpha \geq 0 \). Que vaut cette borne inférieure \( \alpha \) lorsque \( G = \mathbb{Z} \) et lorsque \( G = \mathbb{Q} \) ?
- Supposons que \( \alpha > 0 \).
a) Montrer que \( \alpha \in G_+^* \). (On pourra raisonner par l’absurde et utiliser la caractérisation de la borne inférieure avec \( \varepsilon = \alpha \)).
b) En déduire que \( G = \alpha \mathbb{Z} \). - Supposons que \( \alpha = 0 \). Montrer que \( G \) est dense dans \( \mathbb{R} \).