Cet article regroupe une série d’exercices corrigés portant sur le chapitre des limites et continuité. Il aborde l’utilisation des quantificateurs pour exprimer les limites de fonctions, les opérations sur les limites, les liens entre limites et inégalités, les caractérisations séquentielles de la limite et de la continuité, le théorème de la limite monotone, le théorème des valeurs intermédiaires, le théorème des bornes atteintes, le théorème de la bijection, ainsi que l’étude des limites et de la continuité des fonctions à valeurs dans \( \mathbb{C} \).
Il s’adresse principalement aux étudiants des classes préparatoires scientifiques (MPSI, MP2I, PCSI, PTSI, TSI), mais reste parfaitement adapté aux élèves de prépa intégrée ou aux étudiants de première année universitaire (L1, bac+1).
L’objectif est de consolider la compréhension des notions fondamentales tout en offrant une préparation rigoureuse aux devoirs surveillés, examens et concou
Exercice 1 ⭐️
Étudier la continuité des fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) suivantes : \(f(x) = \lfloor x \rfloor + \sqrt{x – \lfloor x \rfloor}\) et \(g(x) = \lfloor x \rfloor – (x – \lfloor x \rfloor)^2\)
Indications
Corrigé
Exercice 2 ⭐️
Soit \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) une fonction croissante.
On suppose qu’il existe une suite réelle \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) telle que \( \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n = +\infty\) et \( \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} f(u_n) = +\infty\).
Étudier la limite de \(f\) en \(+\infty\).
Indications
Corrigé
Exercice 3 ⭐️
Montrer qu’une fonction périodique non constante n’admet pas de limite en \(+\infty\).
Indications
Corrigé
Exercice 4 ⭐️
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur \(\mathbb{R}\).
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(h(x) = \max(f(x), g(x))\) et \(k(x) = \min(f(x), g(x))\).
Montrer que \(h\) et \(k\) sont continues sur \(\mathbb{R}\).
Indications
Corrigé
Exercice 5 ⭐️
Soient \(f, g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) deux fonctions continues avec \(f_{\mid \mathbb{Q}} = g_{\mid \mathbb{Q}}\).
Montrer que \(f = g\).
Indications
Corrigé
Exercice 6 ⭐️
Soient \(f, g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) deux fonctions continues telles que \(\forall x \in \mathbb{Q}, f(x) < g(x)\).
Montrer que \(\forall x \in \mathbb{R}, f(x) \leq g(x)\).
Indications
Corrigé
Exercice 7 ⭐️
Soit \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) une fonction continue telle que \(f_{\mid \mathbb{Q}}\) est strictement croissante.
Montrer que \(f\) est strictement croissante.
Indications
Corrigé
Exercice 8 ⭐️
- Existe-t-il une fonction \(f : [0,1] \rightarrow\ ]0,1[\) continue et surjective ?
- Existe-t-il une fonction \(f : ]0,1[ \rightarrow [0,1]\) continue et surjective ?
Indications
Corrigé
Exercice 9 ⭐️
Soit \( P \) une fonction polynomiale de degré impair.
Montrer que \( P \) admet au moins une racine dans \( \mathbb{R} \).
Indications
Corrigé
Exercice 10 ⭐️
Soient \( f, g : [a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) deux fonctions continues telles que \( f(a) \leq g(a) \) et \( f(b) \geq g(b) \).
Montrer qu’il existe \( c \in [a, b] \) tel que \( f(c) = g(c) \).
Indications
Corrigé
Exercice 11 ⭐️
Soit \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) une fonction continue et périodique.
Montrer que \( f \) est bornée.
Indications
Corrigé
Exercice 12 ⭐️
Soit \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) une fonction continue telle que \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x) = +\infty \).
Montrer qu’il existe \( a \in \mathbb{R} \) tel que \( \forall x \in \mathbb{R}, f(x) \geq f(a) \).
Indications
Corrigé
Exercice 13 ⭐️
Soit \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) une fonction continue telle que \( \forall x, y \in \mathbb{R}, f(x + y) = f(x) + f(y) \).
- Calculer \( f(0) \) et montrer que \( \forall x \in \mathbb{R}, f(-x) = -f(x) \).
- Justifier que \( \forall n \in \mathbb{Z}, \forall x \in \mathbb{R}, f(nx) = n f(x) \).
- Établir que \( \forall r \in \mathbb{Q}, f(r) = ar \) avec \( a = f(1) \).
- Conclure que \( \forall x \in \mathbb{R}, f(x) = a x \).
- En déduire l’ensemble des fonctions \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) continues vérifiant \( \forall x, y \in \mathbb{R}, f(x + y) = f(x) f(y) \).
Indications
Corrigé
Exercice 14 ⭐️
Soit \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) une fonction continue admettant des limites finies en \( +\infty \) et en \( -\infty \).
Montrer que \( f \) est bornée sur \( \mathbb{R} \).
Indications
Corrigé
Exercice 15 ⭐️
Soit \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) continue telle que \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -1 \) et \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = 1 \).
Prouver que \( f \) s’annule.
Indications
Corrigé
Exercice 16 ⭐️
Soit \( f \) une application continue et décroissante sur \( \mathbb{R} \).
Montrer que \( f \) possède un unique point fixe.
Indications
Corrigé
Exercice 17 ⭐️
Soit \( f : \mathbb{R}_{+}^{*} \rightarrow \mathbb{R} \) une fonction croissante telle que \( x \mapsto \frac{f(x)}{x} \) soit décroissante.
Montrer que \( f \) est continue.
Indications
Corrigé
Exercice 18 ⭐️
Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions continues sur \([0, 1]\) telles que \( \displaystyle \sup_{x \in [0, 1]} f(x) = \sup_{x \in [0, 1]} g(x) \).
Montrer que les graphes de \( f \) et \( g \) se coupent.
Indications
Corrigé
Exercice 19 ⭐️
Soit \( f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) une fonction continue sur le segment \( [0,1] \).
Montrer que \( \displaystyle \sup_{x \in [0,1]} f(x) = \sup_{x \in\,]0,1[} f(x) \).
Indications
Corrigé
Exercice 20 ⭐️
On pose \( \displaystyle \forall x \in \mathbb{R}^{+}, f(x) = \sup_{n \in \mathbb{N}} \frac{x^n}{n!} \).
Montrer que la fonction \( f \) est continue.
Indications
Corrigé
Exercice 21 ⭐️
Soient \( a \) et \( b \) deux réels tels que \( a < b \), et \( f : [a,b] \rightarrow [a,b] \) une fonction continue sur \( [a,b] \) telle que \( f \circ f = f \).
On note \( A = \{ x \in [a,b] \mid f(x) = x \} \).
Montrer que \( A \) est un intervalle non vide de \( \mathbb{R} \).
Indications
Corrigé
Exercice 22 ⭐️
Soient \( a \) et \( b \) deux réels tels que \( a < b \).
Trouver une bijection de \( [a,b] \) sur lui-même qui soit discontinue en chacun de ses points.
Indications
Corrigé
Exercice 23 ⭐️ (Une autre démonstration du théorème des valeurs intermédiaires)
Soit \( f : [a,b] \rightarrow [a,b] \) une fonction continue sur \( [a,b] \) telle que \( f(a) f(b) < 0 \). (Pour se fixer les idées, on suppose que \( f(a) < 0 < f(b) \)).
On pose \( A = \{ x \in [a,b] \mid f(x) \geq 0 \} \).
- Justifier que \( A \) admet une borne inférieure.
On note \( c = \inf A \). - a) Montrer que \( f(c) \geq 0 \).
b) Montrer que \( f(c) \leq 0 \). - Conclure.
Indications
Corrigé
Exercice 24 ⭐️
On considère une fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) et vérifiant : \( \forall x, y \in \mathbb{R},\ |f(x) – f(y)| \leq k |x – y| \) avec \( k \in [0,1[ \) (on dit que \( f \) est \( k \)-contractante).
- Montrer que \( f \) est continue sur \( \mathbb{R} \).
- Montrer que \( \forall x \in \mathbb{R},\ |f(x)| \leq |f(0)| + k|x| \).
- On considère la fonction \( g \) définie par \( \forall x \in \mathbb{R},\ g(x) = f(x) – x \).
Déterminer les limites de \( g \) en \( +\infty \) et en \( -\infty \). - Montrer que \( f \) admet un unique point fixe.
Indications
Corrigé
Exercice 25 ⭐️
Soit \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) une fonction continue et 1-périodique.
Montrer qu’il existe \( c \in \mathbb{R} \) tel que \( f(\mathbb{R}) = f\left( \left[ c,\ c + \frac{1}{2} \right] \right) \).
Indications
Corrigé
Exercice 26 ⭐️
Soit \( f : \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R} \) une fonction continue.
On pose \( \displaystyle \forall x \in \mathbb{R}^{+},\ g(x) = \sup_{t \in [0,x]} f(t) \).
Montrer que la fonction \( g \) est continue.
Indications
Corrigé
Exercice 27 ⭐️
Soient \( f, g : [-1,1] \rightarrow \mathbb{R} \) deux fonctions continues.
On pose \( \displaystyle \forall x \in \mathbb{R},\ h(x) = \sup_{t \in [-1,1]} (f(t) + x g(t)) \).
- Justifier que \( h \) est bien définie.
- Montrer que \( h \) est continue sur \( \mathbb{R} \).
Indications
Corrigé
Exercice 28 ⭐️
Soit \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) une fonction continue sur \( \mathbb{R} \) et telle que \( f_{| \mathbb{Q}} \) soit croissante.
Montrer que \( f \) est croissante.
Indications
Corrigé
Exercice 29 ⭐️
Soit \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) une fonction continue en 0.
Montrer que : \( f \) est constante \( \Leftrightarrow \forall x \in \mathbb{R},\ f(2x) = f(x) \).