Exercices corrigés sur les relations binaires

Cet article propose une sélection d’exercices corrigés autour de la notion fondamentale de relations binaires en mathématiques. Il s’adresse principalement aux étudiants des classes préparatoires scientifiques (CPGE) — notamment en MPSI, MP2I, PCSI, PTSI, TSI — ainsi qu’à ceux en prépas intégrées ou en première année d’université (L1, bac+1). Ces exercices ont pour objectif de renforcer la compréhension des notions de base tout en accompagnant la préparation aux évaluations et concours.

La première partie est dédiée aux relations d’équivalence, tandis que la seconde partie traite des relations d’ordre.

Exercices sur les relations d'équivalence

Exercice 1 ⭐️    

On définit sur \( \mathbb{R} \) la relation binaire \( \mathcal{R} \) par : \( \forall x, y \in \mathbb{R}, \ x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x^{2}-y^{2}=x-y \)

  1. Montrer que \( \mathcal{R} \) est une relation d’équivalence sur \( \mathbb{R} \)
  2. Déterminer la classe d’équivalence d’un élément \( x \in \mathbb{R} \)
Exercice 2 ⭐️    

Soit \( \mathcal{R} \) une relation binaire définie sur \( \mathbb{Z} \) par : \( \forall(n, m) \in \mathbb{Z}^{2}, \ n \mathcal{R} m \Leftrightarrow n+m \text{ est un entier pair } \)

  1. Montrer que \( \mathcal{R} \) est une relation d’équivalence sur \( \mathbb{Z}. \)
  2. Déterminer les classes d’équivalence de cette relation.
Exercice 3 ⭐️    

Soit \( n \in \mathbb{N}^{*} \) avec \( n \geq 2 \). On définit la relation de congruence modulo n dans \( \mathbb{Z} \), notée \( \equiv [n] \), par :
\( \forall a, b \in \mathbb{Z}, a \equiv b[n] \Leftrightarrow \exists \mathrm{k} \in \mathbb{Z}, a=b+k n \)

  1. Montrer que \( \equiv[n] \) est une relation d’équivalence dans \( \mathbb{Z}. \)
    On note \( \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \) l’ensemble de toutes les classes d’équivalences de la relation \( \equiv[n] \). Autrement dit \( \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}=\mathbb{Z} / \equiv[n]\)
  2. Montrer que \( \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}=\{\overline{0} ; \overline{1} ; \ldots ; \overline{n-1}\} \)
  3. Montrer que \( card (\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})=n \)
Exercice 4 ⭐️    

Soit \( E \) un ensemble et \( A \in \mathcal{P}(E) \). 

On définit une relation binaire \( \mathcal{R} \text{ sur } \mathcal{P}(E) \) par : \( \forall X, \ Y \in \mathcal{P}(E), \ X \mathcal{R} Y \Leftrightarrow X \cup A = Y \cup A \)

  1. Montrer que \( \mathcal{R} \) est une relation d’équivalence.
  2. Déterminer : \( cl(\emptyset ), \ cl(A) \text{ et } cl(E) \)
Exercice 5 ⭐️    

On définit sur \( \mathbb{R} \) la relation binaire \( \mathcal{R} \) par : \( \forall x, y \in \mathbb{R}, \ x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x^{3}-y^{3}=3(x-y) \)

  1. Montrer que \( \mathcal{R} \) est une relation d’équivalence sur \( \mathbb{R} \)
  2. Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), déterminer le cardinal de \( cl(x) \), la classe d’équivalence de \( x \)
Exercice 6 ⭐️    
Exercice 7 ⭐️    

Exercices sur les relations d’ordre

Exercice 6 ⭐️    

On définit sur \( \mathbb{R}_{+}^{*} \) la relation binaire \( \mathcal{R} \) par : \( \forall x, y \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \ x \mathcal{R} y \Leftrightarrow \exists n \in \mathbb{N}, y=x^{n} \)

  1. Montrer que \( \mathcal{R} \) est une relation d’ordre sur \( \mathbb{R}_{+}^{*}\)
  2. Cet ordre est-il total ?
Exercice 7 ⭐️    

Soit \( f \) une application injective de \( \mathbb{R} \) dans \( \mathbb{R} \). On définit sur \( \mathbb{R}\) la relation binaire \( \mathcal{R} \) par :
\( \forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, \quad x \mathcal{R} y \Leftrightarrow f(x) \leq f(y) \)

  1. Montrer que \( \mathcal{R} \) est une relation d’ordre sur \( \mathbb{R} \).
  2. L’ordre est-il total ou partiel ?
Exercice 8 ⭐️    

On pose \( E = \left\{ (I,f) \mid I \text{ est un intervalle de } \mathbb{R} \text{ et } f \in \mathcal{F}(I,\mathbb{R} )\right\} \)

On définit sur E la relation binaire \( \leq \) par : \( \forall (I,f), \ (J,g) \in E, \ (I,f) \leq (J,g) \Leftrightarrow I \subset J \text{ et } g_{|I} =f \)

  1. Montrer que \( \leq \) est une relation d’ordre sur E.
  2. Cet ordre est-il total ?
Exercice 9 ⭐️    

On définit sur \( \mathbb{C} \) la relation binaire \( \mathcal{R} \) par : \( \forall z, z’ \in \mathbb{C}, \ z \mathcal{R} z’ \Leftrightarrow ( Re(z) \leq Re(z’) \text{ et } Im(z) \leq Im(z’) \)

  1. Montrer que \( \mathcal{R} \) est une relation d’ordre sur \( \mathbb{C} \)
  2. Cet ordre est-il total ?
Exercice 10 ⭐️    

On définit sur \( \mathbb{C} \) la relation binaire \( \mathcal{R} \) par : \( \forall z, z’ \in \mathbb{C}, \ z \mathcal{R} z’ \Leftrightarrow ( Re(z) < Re(z’) ) \text{ ou } ( Re(z) = Re(z’)  \text{ et } Im(z) \leq Im(z’) ) \)

  1. Montrer que \( \mathcal{R} \) est une relation d’ordre sur \( \mathbb{C} \)
  2. Cet ordre est-il total ou partiel ?
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