Exercices corrigés sur les nombres complexes

Cet article regroupe une série d’exercices corrigés portant sur les nombres complexes.
Il est destiné en priorité aux étudiants des classes préparatoires scientifiques (CPGE) — MPSI, MP2I, PCSI, PTSI, TSI — ainsi qu’à ceux en prépa intégrée ou en première année d’université (L1, bac+1).
Ces exercices visent à consolider la compréhension des notions fondamentales tout en préparant efficacement aux contrôles, examens et concours.

Exercice 1 ⭐️    

Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), on pose \( z_{n}=\left(\frac{(1+i)^{5}}{(\sqrt{3}-i)^{3}}\right)^{n} \).

Pour quelles valeurs de n, a-t-on \( z_{n} \in \mathbb{R}^{+}\) ?

Exercice 2 ⭐️    

Déterminer les racines quatrièmes de \( -7+24 i \)

Exercice 3 ⭐️    

Résoudre dans \( \mathbb{C} \) l’équation \( \bar{z}=z^{3}\)

Exercice 4 ⭐️    
  1. Calculer : \( (1+i)(1+2 i)(1+3 i)\)
  2. En déduire : \( \arctan (1)+\arctan (2)+\arctan (3) \)
Exercice 5 ⭐️    
  1. Montrer que : \( \forall z \in \mathbb{C}, \ \frac{1}{\sqrt{2}}(|Re(z)|+|Im(z)|) \leq|z| \leq|Re(z)|+|Im(z)| \)
  2. Étudier le cas d’égalité.
Exercice 6 ⭐️    

Soit \( z \in \mathbb{U}\).

Montrer que :  \( 1 \leq|1+z| \text{ ou } 1 \leq\left|1+z^{2}\right|\)

Exercice 7 ⭐️    

Résoudre dans \( \mathbb{C}\) l’équation : \( (z-1)^{6}+(z-1)^{3}+1=0\)

Exercice 8 ⭐️    

Résoudre dans \( \mathbb{C}\) l’équation : \( (z+i)^{n}=(z-i)^{n} \text{ où } n \in \mathbb{N}, \ n \geq 2\)

Exercice 9 ⭐️    

Résoudre dans \( \mathbb{C}\) l’équation : \( 1+\frac{z+i}{z-i}+\left(\frac{z+i}{z-i}\right)^{2}+\left(\frac{z+i}{z-i}\right)^{3}=0 \)

Exercice 10 ⭐️    

Soit \( \in \mathbb{N}, n \geq 2\). Résoudre dans \( \mathbb{C} \) l’équation : \( 1+2 z+2 z^{2}+\cdots+2 z^{n-1}+z^{n}=0\) 

Exercice 11 ⭐️    

On pose \( \omega=e^{\frac{2 i \pi}{7}} \text{ et } X=\omega+\omega^{2}+\omega^{4}  \text{ et } Y=\omega^{3}+\omega^{5}+\omega^{6}\) 

  1. Montrer que \( Y=\bar{X}\) et que \( Im(X)>0 \)
  2. Calculer \( X+Y \text{ et } X Y. \) En déduire X et Y.
  3. Exprimer \( Re( X) \) en fonction de \( \cos \frac{2 \pi}{7} \)
  4. En déduire que \( \cos \frac{2 \pi}{7} \) est une racine du polynôme \( 8 X^{3}+4 X^{2}-4 X-1 \).

Exercice 12 ⭐️    

Soient \( n \in \mathbb{N}\) et \( \theta \in \mathbb{R}.\)

Calculer : \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \cos (k \theta)\text{ et } \sum_{k=0}^{n} \sin (k \theta)\)

Exercice 13 ⭐️    

Soient \( x \in \mathbb{R} \text{ et } n \in \mathbb{N}\). On pose \(  A_{n}=\sum_{k=0}^{n}  \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}
\sin (k x) \).

Calculer \(A_{n}\).

Exercice 14 ⭐️    
  1. Soit \(\theta\) un nombre réel. Exprimer \( \cos (5 \theta)\) en fonction de \(\cos (\theta)\)
  2. On pose \( \omega=\cos \left(\frac{\pi}{10}\right) \). À l’aide de la question précédente, établir qu’il existe trois entiers \( a, b \text{ et } c\), que l’on explicitera, tels que : \( a \omega^{5}+b \omega^{3}+c \omega=0\)
  3. On considère à présent l’équation (E) : \( a X^{5}+b X^{3}+c X=0 \)
    a) Résoudre dans \( \mathbb{R}\) l’équation (E). On vérifiera en particulier que (E) possède deux solutions non nulles strictement positives, et deux solutions non nulles strictement négatives.
    b) On note \( X_{1} \text{ et }X_{2}\) les solutions strictement positives de l’équation (E), de telle sorte que \( X_{1}<X_{2}\).
    Justifier que : \( X_{1}<\frac{\sqrt{3}}{2}\)
  4. À l’aide des questions précédentes, préciser la valeur exacte de \( \cos \left(\frac{\pi}{10}\right)\)
Exercice 15 ⭐️    

Soit \( n \in \mathbb{N} \setminus\{0 ; 1\}\). On pose \( \omega=e^{\frac{2 i \pi}{n}}\)

On admet que \( \displaystyle X^{n}-1=\prod_{k=0}^{n-1}\left(X-\omega^{k}\right)\). Calculer \( \displaystyle P_{n}=\prod_{k=0}^{n-1}\left(\omega^{k}+\frac{1}{\omega^{k}}\right) \)

Exercice 16 ⭐️ (Méthode de Cardon)

Soient \( p, q \in \mathbb{C}^{*}\). On considère les deux équations d’inconnu \( z \in \mathbb{C} \) suivantes :

\( \left(E_{1}\right): z^{3}+p z+q=0 \text{  et }\left(E_{2}\right): z^{2}+q z-\frac{p^{3}}{27}=0\)

Soient \( u \text{ et }v \) les solutions complexes de l’équation \(  ( E_{2} ) \) et \( a \in \mathbb{C} \text{ tel que }a^{3}=u\)

  1. Montrer que \( a \neq 0\)
  2. On pose \( b=-\frac{p}{3 a} \)
    a) Calculer \( a^{3} b^{3} \)
    b) En déduire que \( b^{3}=v\)
    c) Calculer \( a^{3}+b^{3} \)
  3. Montrer que \( a+b \) est solution de l’équation  \( (E_{1}) \)
  4. Montrer que \( j a+j^{2} b \text{ et } j^{2} a+j b\) sont aussi solutions de \(\left(E_{1}\right)\). On rappelle que \( j=e^{\frac{2 i \pi}{3}}\)
  5. Application : Résoudre dans \( \mathbb{C}\) l’équation : \( z^{3}-3 z+1=0\)
Exercice 17 ⭐️    

Soient \( x, y, z \in \mathbb{R} \) tels que \( e^{ix} + e^{iy} + e^{iz} = 0 \).

  1. Montrer que le nombre complexe \( e^{i(y – x)} \) est solution de l’équation \( 1 + w + w^2 = 0 \).
  2. En déduire que \( e^{i2x} + e^{i2y} + e^{i2z} = 0 \).
Exercice 18 ⭐️    

Déterminer les réels \( x, y, z \in \mathbb{R} \) vérifiant \( e^{ix} + e^{iy} + e^{iz} = 0 \).

Exercice 19 ⭐️    
  1. Montrer que, pour tous \( z, z’ \in \mathbb{C} \), on a :
    \(
    2\left(|z|^{2} + |z’|^{2}\right) = |z + z’|^{2} + |z – z’|^{2}.
    \)
  2. Interpréter géométriquement ce résultat.
Exercice 20 ⭐️    

Soient \( A, B, C \) trois points du plan complexe d’affixes respectives \( a, b, c \).

  1. Montrer que le triangle \( ABC \) est équilatéral direct si et seulement si \( a + j b + j^{2} c = 0 \), où \( j = e^{2i\pi/3} \) est une racine cubique de l’unité.
  2. Montrer que le triangle \( ABC \) est équilatéral si et seulement si
    \(
    a^{2} + b^{2} + c^{2} – (ab + ac + bc) = 0.
    \)

Exercice 21 ⭐️    

Montrer que les images des racines n-ièmes de l’unité sont les sommets d’un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité du plan complexe.

Exercice 22 ⭐️    

Montrer que, pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), et pour tout \( (z_1, \ldots, z_n) \in (\mathbb{C}^*)^n \), on a :
\[
\left|\sum_{k=1}^{n} z_k\right| = \sum_{k=1}^{n} |z_k|
\quad \Longleftrightarrow \quad
\forall k \in \{1, \dots, n\},\; \arg(z_k) \equiv \arg(z_1) \pmod{2\pi}
\]

Exercice 23 ⭐️    

Soient \(a, b, c\) trois nombres complexes de module 1.

Montrer que \(|a+b+c|=|a b+b c+a c|\)

Exercice 24 ⭐️    

Soit \(\in \mathbb{N}, n \geq 2\). Calculer le produit des éléments de \(\mathbb{U}_{n}\).

Exercice 25 ⭐️    
  1. Montrer que \( \forall z, z^{\prime} \in \mathbb{C},|z|+\left|z^{\prime}\right| \leq\left|z+z^{\prime}\right|+\left|z-z^{\prime}\right|\)
  2. Étudier le cas d’égalité.
Exercice 26 ⭐️    

Résoudre dans \( \mathbb{C}\) le système \( \left\{\begin{array}{l}|z-1| \leq 1 \\ |z+1| \leq 1\end{array}\right.\)

Exercice 27 ⭐️    
Retour en haut