Cet article rassemble une série d’exercices corrigés portant sur deux notions fondamentales en mathématiques : les ensembles et les applications. Conçus pour les étudiants en classes préparatoires (CPGE) – notamment en MPSI, MP2I, PCSI, PTSI, TSI – ainsi que pour ceux en prépas intégrées ou en L1, bac+1. Ces exercices visent à consolider la maîtrise des concepts de base tout en préparant efficacement aux évaluations et concours.
La première partie est consacrée aux opérations sur les ensembles : inclusion, intersection, réunion, différence, passage aux complémentaires et ensemble des parties.
Dans la seconde partie, nous abordons la théorie des applications à travers des exercices ciblant les notions d’injectivité, de surjectivité, de bijectivité, ainsi que la manipulation des images directes et réciproques d’ensembles.
Enfin, une troisième partie regroupera des exercices mêlant ensembles et applications, afin de mieux comprendre les interactions entre ces deux notions fondamentales.
Exercices sur les ensembles
Exercice 1 ⭐️ (Ensemble des parties d'un ensemble)
On pose \( E= \left\{ a\ ; \ b \right\} \)
1) Déterminer \( \mathcal{P} (E) \)
2) Déterminer \( \mathcal{P} ( \mathcal{P} (E)) \)
Indications
Corrigé
Exercice 2 ⭐️
Soit E un ensemble, et soient A, B, C trois parties de E.
1) Montrer que : \( (A \setminus C) \setminus (B \setminus C) = A \setminus (B \cup C ) \)
2) Montrer que : \( (A \setminus B) \cup (A \setminus C) = A \setminus (B \cap C ) \)
Indications
Corrigé
Exercice 3 ⭐️ (Différence symétrique )
Soit E un ensemble et A, B deux parties de E.
On définit la différence symétrique de A et B par : \( A \Delta B = (A \setminus B ) \cup ( B \setminus A ) \)
1) Montrer que : \( A \Delta B = (A \cup B ) \setminus ( A \cap B ) \)
2) Montrer que \( A \Delta B = \overline{A} \Delta \overline{B} \)
Indications
Corrigé
Exercice 4 ⭐️
Soient E et F deux ensembles, \( A_{1} , A_{2} \in \mathcal{P} (E) \) et \( B_{1} , B_{2} \in \mathcal{P} (F) \)
1) Montrer que \( (A_{1} \times B_{1} ) \cap (A_{2} \times B_{2} ) = ( A_{1} \cap A_{2} ) \times ( B_{1} \cap B_{2} ) \)
2) Montrer que \( (A_{1} \times B_{1} ) \cup (A_{2} \times B_{1} ) = ( A_{1} \cup A_{2} ) \times B_{1} \)
3) A-t-on nécessairement \( (A_{1} \times B_{1} ) \cup (A_{2} \times B_{2} ) = ( A_{1} \cup A_{2} ) \times ( B_{1} \cup B_{2} ) \ ?\)
Indications
Corrigé
Exercice 5 ⭐️
Soit E un ensemble et A, B deux parties de E.
Montrer que \( A \cup B = A \cap B \Rightarrow A=B \)
Indications
Corrigé
Exercice 6 ⭐️
Soit E un ensemble et A, B, C trois parties de E.
Montrer que \( \begin{cases} A \cap B =A \cup C \\ A \cup B =A \cap C \end{cases} \Rightarrow A=B=C \)
Indications
Corrigé
Exercice 7 ⭐️
Soit E un ensemble et A, B, C trois parties de E.
Montrer que \( A \cap B =A \cap C \Leftrightarrow A \cap \overline{B} = A \cap \overline{C} \)
Indications
Corrigé
Exercice 8 ⭐️
Soit E un ensemble et A, B, C trois parties de E.
Montrer que \( ( A \setminus B ) \cup ( B \setminus C ) \cup ( C \setminus A ) = ( A \cup B \cup C ) \setminus ( A \cap B \cap C ) \)
Indications
Corrigé
Exercice 9 ⭐️
Soient E et F deux ensembles.
1) Montrer que : \( E \subset F \Leftrightarrow \mathcal{P}(E) \subset \mathcal{P}(F) \)
2) Établir que : \( \mathcal{P}(E \cap F)=\mathcal{P}(E) \cap \mathcal{P}(F) \)
3) A-t-on : \( \mathcal{P}(E \cup F)=\mathcal{P}(E) \cup \mathcal{P}(F) \) ?
Indications
Corrigé
Exercice 10 ⭐️
Soient A et B deux parties d’un ensemble E.
Résoudre l’équation d’inconnue \( X \in \mathcal{P}(E) \) suivante :
\( X \cap A=B \)
Indications
Corrigé
Exercice 11 ⭐️
Soient A et B deux parties d’un ensemble E.
Résoudre l’équation d’inconnue \( X \in \mathcal{P}(E) \) suivante :
\( X \cup A=B \)
Indications
Corrigé
Exercice 12 ⭐️
Soient E, I, J trois ensembles, et \( (A_{i,j})_{(i,j)\in{I\times J}} \) une famille de parties de E.
Comparer \( \underset{i\in I} { \bigcup } \underset{j \in J} { \bigcap }A_{i,j} \) et \( \underset{j \in J} { \bigcap } \underset{i\in I} { \bigcup } A_{i,j} \)
Indications
Corrigé
Image directe, image réciproque
Exercice 13 ⭐️
Soient E et F deux ensembles non vides, \( A_{1},A_{2} \in \mathcal{P} (E) \) et \( f \) une application de E dans F.
1) Montrer que : \( A_{1} \subset A_{2} \Rightarrow f(A_{1}) \subset f(A_{2}) \)
2) Montrer que : \( f(A_{1} \cup A_{2}) = f(A_{1}) \cup f(A_{2}) \)
3-a) Montrer que : \( f(A_{1} \cap A_{2}) \subset f(A_{1}) \cap f(A_{2}) \)
3-b) A-t-on l’égalité ?
Indications
Corrigé
Exercice 14 ⭐️
Soient E et F deux ensembles non vides, et \( f \) une application de E dans F.
1) Montrer que : \( \forall A,B \in \mathcal{P}(F), \ A \subset B \Rightarrow f^{-1}(A) \subset f^{-1}(B) \)
2) Montrer que : \( \forall A,B \in \mathcal{P}(F), \ f^{-1}(A \cup B ) =f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B) \)
3) Montrer que : \( \forall A,B \in \mathcal{P}(F), \ f^{-1}(A \cap B ) =f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \)
4) Montrer que : \( \forall A \in \mathcal{P}(F), \ f^{-1} ( C^{A}_{F})= C^{f^{-1}(A)}_{E} \)
Indications
Corrigé
Exercice 15 ⭐️
Soient E et F deux ensembles non vides, et \( f \) une application de E dans F.
1) Montrer que : \( \forall A \in \mathcal{P}(E), \ A \subset f^{-1}(f(A)) \)
2) Montrer que : \( \forall B \in \mathcal{P}(F), \ f(f^{-1}(B)) \subset B \)
Indications
Corrigé
Exercices sur les applications injectives, surjectives et bijectives
Exercice 16 ⭐️
Soient E, F, G trois ensembles non vides, \( f \in \mathcal{F}(E,F), \ et \ \ g \in \mathcal{F}(F,G) \)
1) Montrer que : \( f \ et \ g \ injectives \ \Rightarrow g \circ f \ injective \)
2) Montrer que : \( f \ et \ g \ surjectives \ \Rightarrow g \circ f \ surjective \)
3) Montrer que : \( f \ et \ g \ bijectives \ \Rightarrow g \circ f \ bijective \)
4) Montrer que : \( g \circ f \ injective \Rightarrow f \ injective \)
5) Montrer que : \( g \circ f \ surjective \Rightarrow g \ surjective \)
Indications
Corrigé
Exercice 17 ⭐️
Soient E, F, G trois ensembles non vides, \( f \in \mathcal{F}(E,F), \ \ g \in \mathcal{F}(F,G) \ et \ \ h \in \mathcal{F}(G,E) \)
Montrer que si \( h \circ g \circ f \ et \ g \circ f \circ h \) sont injectives et \( f \circ h \circ g \) est surjective alors \( f, \ g \ et \ h \) sont bijectives.
Indications
Corrigé
Exercice 18 ⭐️
Soient E un ensemble et \( f: E \rightarrow E \) une application telle que \( f \circ f \circ f=f \).
Montrer que \( f \) est injective si et seulement si \(f \) est surjective.
Indications
Corrigé
Exercice 19 ⭐️
Soit [\( f \text{ une application de } \mathbb{N} \text{ vers } \mathbb{N} \). On suppose que \( f \) est injective et vérifie : \( \forall n \in \mathbb{ N}, \quad f(n)≤n [ \).
Montrer que \( f=id_{\mathbb{N}} \)
Indications
Corrigé
Exercice 20 ⭐️
Soit \( f \text{ une application de } \mathbb{N} \text{ vers } \mathbb{N} \). On suppose que \( f \) est surjective et vérifie : \( \forall n \in \mathbb{ N}, \quad f(n)≥n \).
Montrer que \( f=id_{\mathbb{N}} \)
Indications
Corrigé
Exercice 21 ⭐️
Soient E et F deux ensembles non vides.
Montrer qu’il existe une application injective de E vers F si et seulement s’il existe une application surjective de F vers E.
Indications
Corrigé
Exercice 22 ⭐️
Montrer que l’application \( f: x \rightarrow \frac{2 x}{1+x^{2}} \) est bijective de \( ] 0 ; 1[ \) sur \( ] 0 ; 1 [ \) et déterminer sa réciproque.
Indications
Corrigé
Exercices mêlant ensembles et applications :
Exercice 23 ⭐️
Soient \( E \ et \ F \) deux ensembles et \( f: E \rightarrow F \) une application.
- Montrer que \( \forall A, B \in \mathcal{P}(E),\ f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)\)
- Montrer que : \( f \) est injective si et seulement si \( \forall A, B \in \mathcal{P}(E), \ f(A \cap B)=f(A) \cap f(B)\).
Indications
Corrigé
Exercice 24 ⭐️
Soient \( E \ et \ F \) deux ensembles et \( f: E \rightarrow F \) une application.
- Montrer que : \( \forall A \in \mathcal{P}(E), \ A \subset f^{-1}(f(A)) \)
- Montrer que : \( f \text{ est injective } \Leftrightarrow \forall A \in \mathcal{P}(E), A=f^{-1}(f(A)) \)
Indications
Corrigé
Exercice 25 ⭐️
Soient \( E \ et \ F \) deux ensembles et \( f: E \rightarrow F \) une application.
- Montrer que : \( \forall B \in \mathcal{P}(F), \ f\left(f^{-1}(B)\right) \subset B \)
- Montrer que : \( f \text{ est surjective } \Leftrightarrow \forall B \in \mathcal{P}(F), B=f\left(f^{-1}(B)\right) \)
Indications
Corrigé
Exercice 26 ⭐️
Soient \( E \text{ et } F \) deux ensembles et \( f: E \rightarrow F \) une application.
Montrer que : \( f \) est bijective si et seulement si \( \forall A \in \mathcal{P}(E), \ f\left(C_{E}^{A}\right)=C_{F}^{f(A)} \)
Indications
Corrigé
Exercice 27 ⭐️
Soient \( E \) un ensemble et \( A, B \in \mathcal{P}(E) \). On considère l’application \( f \) définie par \( f \ : \ \begin{array}{lll}
\mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(A) \times \mathcal{P}(B) \\
X \mapsto (X\cap A, X\cap B)
\end{array} \)
- Montrer que : \( f \) est injective si et seulement si \( A \cup B=E \)
- Montrer que : \( f \) est surjective si et seulement si \( A \cap B= \emptyset \)
Indications
Corrigé
Exercice 28 ⭐️ (Théorème de Cantor)
Soit E un ensemble non vide. Montrer qu’il n’existe pas d’application surjective de E vers \( \mathcal{P}(E)\)
Indications
Considérer une application \( f \text{ de E vers } \mathcal{P}(E) \) surjective et utiliser la partie \( A=\{x \in E / x \notin f(x) \} \)
Corrigé
Exercice 29 ⭐️
Soient E, I deux ensembles non vides et \( f : E \rightarrow I \) une application surjective. On pose \( \forall i \in I, A_{i} = f^{-1}( \{ i \} ) \)
Montrer que les \( A_{i} \) forment une partition de E.
Indications
Corrigé
Exercice 30 ⭐️
Soient E et F deux ensembles, on considère également les deux applications : \( f : E \rightarrow F \) et \( g \ : \ \begin{array}{lll} \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(F) \\ A \to f(A) \end{array} \)
Montrer que : \( f \text{ est injective } \Leftrightarrow g \text{ est injective } \)
Indications
Corrigé
Exercice 31 ⭐️
Soient E et F deux ensembles, on considère également les deux applications : \( f : E \rightarrow F \) et \( g \ : \ \begin{array}{lll} \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(F) \\ A \to f(A) \end{array} \)
Montrer que : \( f \text{ est surjective } \Leftrightarrow g \text{ est surjective } \)