Calcul algébrique : exercices corrigés sur les sommes et produits

Cet article propose une série d’exercices corrigés sur le calcul des sommes et des produits, dans le cadre du calcul algébrique.
Il s’adresse principalement aux étudiants des classes préparatoires scientifiques (CPGE) — MPSI, MP2I, PCSI, PTSI, TSI — ainsi qu’à ceux en prépa intégrée ou en première année d’université (L1, bac+1).
Ces exercices ont pour objectif de renforcer la maîtrise des notions fondamentales tout en offrant une préparation solide aux contrôles, examens et concours.

Exercice 1 ⭐️    

Calculer la somme : \( \displaystyle \sum_{1 \leq i, j \leq n} i\)

Exercice 2 ⭐️    

Calculer la somme : \( \displaystyle \sum_{1 \leq i<j \leq n} i j\)

Exercice 3 ⭐️    

Calculer la somme : \( \displaystyle \sum_{1 \leq i, j \leq n}|i-j|\)

Exercice 4 ⭐️    

Calculer la somme : \( \displaystyle \sum_{1 \leq i, j \leq n} \max (i, j)\)

Exercice 5 ⭐️    

Calculer la somme : \( \displaystyle \sum_{1 \leq i, j \leq n}(i+j)^{2}\)

Exercice 6 ⭐️    

Calculer la somme : \( \displaystyle \sum_{0 \leq i, j \leq n} \pmatrix{i \\ j} \)

Exercice 7 ⭐️    

Calculer la somme : \( \displaystyle \prod_{k=1}^{n} \frac{2 k-1}{2 k+1}\)

Exercice 8 ⭐️    

Calculer la somme : \( \displaystyle \sum_{k=2}^{n} \frac{2}{k(k+1)(k-1)}\)

Exercice 9 ⭐️    

Soit \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) une suite de nombres réels.

  1. Montrer que, pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \),
    \[
    \left( \sum_{k=1}^{n} a_{k} \right)^2
    = \sum_{k=1}^{n} a_{k}^2 + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_{i} a_{j}.
    \]
  2. Quel résultat bien connu cette formule généralise-t-elle ?
Exercice 10 ⭐️    

Soit \( n \in \mathbb{N}^{*} \) et \( x_{1}, \ldots, x_{n} \in \mathbb{R} \). On suppose que \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k} = \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2} = n \).

Montrer que \( \forall k \in \{1, \ldots, n\}, \ x_{k} = 1 \).

Exercice 11 ⭐️    

Soit \( n \geq 2 \) un entier naturel et \( \left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, x_{n+1}\right) \in \mathbb{R}^{n+1} \) avec \( x_{n+1} = x_{1} \).

Prouver que : \( \displaystyle x_{1} = x_{2} = \cdots = x_{n} \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2} = \sum_{k=1}^{n} x_{k} x_{k+1} \).

Exercice 12 ⭐️    

Montrer que : \( \displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad \prod_{k=1}^{n}(4k – 2) = \prod_{k=1}^{n}(n + k) \).

Exercice 13 ⭐️    

Soit \( p \in \mathbb{N}\). Démontrer que \(p ! \) divise tout produit de p entiers naturels consécutifs.

Exercice 14 ⭐️    

Soient \( n, p \in \mathbb{N} \) tel que \( n \geq p .\)

Démontrer que \( \displaystyle \sum_{k=p}^{n} \pmatrix{ k \\ p} = \pmatrix{ n+1 \\ p+1}\)

Exercice 15 ⭐️    

Soit p un nombre premier. Montrer que \( \forall k \in \left\{2, \ldots,p-1 \right\}, \ p \mid \pmatrix{p \\k} \)

Exercice 16 ⭐️    

Soit \( n \in \mathbb{N}^{*}\). On pose \( \omega=e^{\frac{2 i \pi}{n}}\).

Calculer \( \displaystyle S_{n}=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1) \omega^{k}\)

Exercice 17 ⭐️    

Soient \( x \in \mathbb{R} \setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k \pi / k \in \mathbb{Z}\right\}\) et \( n \in \mathbb{N}^{*}\).

Calculer \( \displaystyle A_{n}=\sum_{k=0}^{n} \frac{\cos (k x)}{\cos ^{k}(x)}\)

Exercice 18 ⭐️    

Calculer pour tout \( n \in \mathbb{N}^{*} \) les sommes suivantes :

  1.  \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \pmatrix{n \\ k} \)
  2. \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} k \pmatrix{n \\ k} \)
  3. \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} k(k-1) \pmatrix{n \\ k} \)
  4. \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} k^{2} \pmatrix{n \\ k} \)

Exercice 19 ⭐️    

Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), on pose
\( \displaystyle  A_{n} = \sum_{k=0}^{n} \pmatrix{2n + 1 \\ 2k} \) et \(\displaystyle B_{n} = \sum_{k=0}^{n} \pmatrix{2n + 1 \\ 2k + 1} \).

Calculer \( A_{n} \) et \( B_{n} \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \).

Exercice 20 ⭐️ (Formule de Vandermonde)

Soient \( n, p, q \in \mathbb{N} \), tels que \( n \leq p + q \).

Montrer que : \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \pmatrix{p \\ k} \pmatrix{q \\ n – k} = \pmatrix{p + q \\ n} \)

Exercice 21 ⭐️    

Soient \( n, p \in \mathbb{N}^{*} \),

  1. Calculer \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \pmatrix{p + k \\ k} \)
  2. Calculer \( \displaystyle \sum_{i=0}^{n} \left( \prod_{j=1}^{p} (i + j) \right) \)

Exercice 22 ⭐️    

Soit \( n \in \mathbb{N}\). Calculer \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \arctan \left(\frac{1}{k^{2}+k+1}\right) \) 

Exercice 23 ⭐️    

Soit \( n \in \mathbb{N}^{*} \). On considère le polynôme \( \displaystyle  P = \sum_{l=0}^{n-1} a_{l} X^{l} \) où les \( a_{l} \in \mathbb{C} \).

Pour tout \( k \in \{0, \dots, n-1\} \), on pose \( \omega_{k} = e^{\frac{2 i k \pi}{n}} \).

On pose \( \displaystyle M = \max_{k \in \{0, \dots, n-1\}} \left| P(\omega_{k}) \right| = \max_{z \in \mathbb{U}_{n}} |P(z)| \).

  1. Pour tout \( j \in \{0, \dots, n-1\} \), calculer \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \omega_{k}^{-j} P(\omega_{k}) \).
  2. En déduire que \( \forall j \in \{0, \dots, n-1\}, \ \left| a_{j} \right| \leq M \).
Exercice 24 ⭐️    

Soit \( n \in \mathbb{N}^{*} \).

  1. Montrer que \( \forall z \in \mathbb{C}, \quad \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \left(z + e^{\frac{2 i k \pi}{n}} \right)^{n} = n \left(z^{n} + 1 \right) \)
  2.  En déduire que \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{k} \cos^{n} \left( \frac{2k – 1}{2n} \pi \right) = 0 \)
Exercice 25 ⭐️    

Soit \( n \in \mathbb{N}^{*} \), calculer \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \pmatrix{2n+1 \\ k} \)

Exercice 26 ⭐️    

Soit \( x \in \mathbb{R} \) et \( n \in \mathbb{N} \). On pose \( \displaystyle A_{n} = \sum_{k=0}^{n} \pmatrix{n \\ k} \sin(kx) \).

Calculer \( A_{n} \)

Exercice 27 ⭐️    

Soit \( n \in \mathbb{N}^{*} \). On pose \( \omega = e^{\frac{2 i \pi}{n}} \).

Calculer \( \displaystyle S_{n} = \sum_{k=0}^{n-1} (k+1) \omega^{k} \).

Exercice 29 ⭐️    

Soient \( x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \) et \( n \in \mathbb{N}^{*} \).

Calculer \( \displaystyle A_{n} = \sum_{k=0}^{n} \frac{\cos(kx)}{\cos^{k}(x)} \).

Exercice 30 ⭐️    

Soit \( n \in \mathbb{N}^{*} \). Calculer la somme : \( \displaystyle \sum_{1 \leq i \leq j \leq n} \frac{i}{j} \)

Exercice 31 ⭐️    
Exercice 32 ⭐️    
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