Cet article introduit la notion d’équivalence pour les suites et les fonctions à travers des définitions claires, accompagnées d’exemples et d’exercices corrigés. Il présente ensuite les propriétés fondamentales des équivalents, illustrées par des démonstrations rigoureuses, ainsi qu’une liste des équivalents usuels. Enfin, une série d’exercices est proposée afin de consolider la compréhension et la maîtrise de ces outils essentiels.
1) Définition de l'équivalence
a) Équivalence des fonctions
Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions définies sur un voisinage de \( a \in \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \), à valeurs réelles ou complexes.
On dit que \( f \) est équivalente à \( g \) au voisinage de \( a \) si : \( \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \)
On note alors : \( \displaystyle \quad f(x) \sim_{x \to a} g(x) \)
Voici quelques exemples classiques d’équivalents pour des fonctions usuelles :
- \( \displaystyle \sin(x) \underset{x \to 0}{\sim} x \quad \text{car} \quad \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)
- \( \displaystyle x^{2} + 3x + 1 \underset{x \rightarrow 1}{\sim} 5 \quad \text{car} \quad \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2} + 3x + 1}{5} = 1 \)
- \(\displaystyle e^{x} \underset{x \rightarrow 0}{\sim} 1 \quad \text{car} \quad \lim_{x \rightarrow 0} e^{x} = 1 \)
- \( \displaystyle \ln(1 + x) \underset{x \to 0}{\sim} x \quad \text{car} \quad \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1
\)
b) Équivalence des suites numériques
Soient \( \left(U_{n}\right) \) et \( \left(V_{n}\right) \) deux suites à valeurs réelles ou complexes.
On dit que la suite \( \left(U_{n}\right) \) est équivalente à la suite \( \left(V_{n}\right) \) lorsque \( \displaystyle
\lim_{n \to +\infty} \frac{U_n}{V_n} = 1 \).
On note dans ce cas \( U_n \underset{n \to +\infty}{\sim} V_n\) ou tout simplement \( U_n \sim V_n \).
Voici quelques exemples d’équivalents pour des suites numériques :
- \( n+1 \underset{n \to +\infty}{\sim} n \)
- \( \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{1}{n} \)
- \( e^{\frac{1}{n}} – 1 \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{1}{n} \)
- \( \cos\left(\frac{1}{n}\right) \underset{n \to +\infty}{\sim} 1 \)
2) Propriétés des équivalents
Propriété 1 :
L’équivalence entre deux fonctions est une relation d’équivalence au sens des relations binaires en mathématiques. Cela signifie qu’elle vérifie les trois propriétés suivantes :
Soient \( f, g, h \) trois fonctions définies au voisinage de \( a \in \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \).
- Réflexivité : \( f(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} f(x) \)
- Symétrie : si \( f(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} g(x) \) alors \( g(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} f(x) \)
- Transitivité : si \( f(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} g(x) \) et \( g(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} h(x) \), alors \( f(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} h(x) \)
On a les mêmes propriétés pour l’équivalence des suites.
Propriété 2 : Opérations sur les équivalents
Soient \( f, g, u, v \) quatre fonctions définies au voisinage de \( a \in \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \).
On suppose que \( f(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} u(x) \) et \( g(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} v(x) \). Alors :
- Produit : \( f(x) g(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} u(x) v(x) \)
- Quotient : si \( g \text{ et } v \) ne s’annulent pas au voisinage de \( a \), alors \( \frac{f(x)}{g(x)} \underset{x \rightarrow a}{\sim} \frac{u(x)}{v(x)} \)
- Puissance entière : \( \forall m \in \mathbb{N}, \ f(x)^m \underset{x \rightarrow a}{\sim} u(x)^m \)
- Puissance réelle : \( \forall \alpha > 0 \), si \( f(x)^\alpha \) et \( u(x)^\alpha \) sont bien définies au voisinage de \( a \), alors \( f(x)^\alpha \underset{x \rightarrow a}{\sim} u(x)^\alpha \)
En particulier, si \( f(x) \geq 0 \) et \( u(x) \geq 0 \) au voisinage de \( a \), alors \( \sqrt{f(x)} \underset{x \rightarrow a}{\sim} \sqrt{u(x)} \).
Ces propriétés restent valables pour les suites.
Propriété 3 :
Si une fonction \( f \) est dérivable en \( a \in \mathbb{R} \) et \( f'(a) \neq 0 \), alors \( f(x) – f(a) \underset{x \rightarrow a}{\sim} f'(a)(x – a) \)
Propriété 4 :
Soit \( f \) une fonction définie au voisinage de \( a \in \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \).
Si \( \displaystyle
\lim_{x \rightarrow a} f(x) = l \in \mathbb{R}^* \), alors \( f(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} l \)
3) Liste des équivalents usuels des fonctions en 0
Voici la liste des équivalents classés par types de fonctions au voisinage de 0 :
a) Équivalents usuels des fonctions logarithmiques, exponentielles et puissances
- \( e^x – 1 \underset{x \rightarrow 0}{\sim} x \)
- \( \ln(1 + x) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} x \)
- \( \forall \alpha \in \mathbb{R}^*, \ (1 + x)^\alpha – 1 \underset{x \rightarrow 0}{\sim} \alpha x \)
En particulier : \( \sqrt{1 + x} – 1 \underset{x \rightarrow 0}{\sim} \frac{x}{2} \)
b) Équivalents usuels des fonctions trigonométriques
- \( \tan(x) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} x \)
- \( \sin(x) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} x \)
- \( 1 – \cos(x) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} \frac{x^2}{2} \)
c) Équivalents usuels des fonctions trigonométriques réciproques :
- \( \arcsin(x) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} x \)
- \( \arctan(x) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} x \)
d) Équivalents usuels des fonctions hyperboliques :
- \( \sinh(x) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} x \)
- \( \tanh(x) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} x \)
- \( \cosh(x) – 1 \underset{x \rightarrow 0}{\sim} \frac{x^2}{2} \)
Remarque :
On ne trouve pas dans cette liste les équivalents usuels en 0 de \( e^x \), \( \cos(x) \), \( \cosh(x) \), car dans ces cas, il suffit de calculer directement les limites : \(
e^x \underset{x \rightarrow 0}{\sim} 1, \quad \cos(x) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} 1, \quad \cosh(x) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} 1
\)
4) Équivalents usuels à l'infini et en \( a \in \mathbb{R}^{*} \)
Propriété : Composition à droite dans un équivalent
Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions définies au voisinage de \( a \in \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \), telles que \( f(x) \underset{x \rightarrow a}{\sim} g(x) \).
Soit \( u \) une fonction définie au voisinage de \( \displaystyle b \in \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \), telle que \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow b} u(x) = a \).
Alors \( f \circ u(x) \underset{x \rightarrow b}{\sim} g \circ u(x) \).
Comme conséquence de cette propriété, on a les équivalents suivants :
Si \( u \) est une fonction définie au voisinage de \( a \in \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \) avec \( \lim_{x \rightarrow a} u(x) = 0 \), alors :
- \( e^{u(x)} – 1 \underset{x \rightarrow a}{\sim} u(x) \)
- \( \ln(1 + u(x)) \underset{x \rightarrow a}{\sim} u(x) \)
- \( \forall \alpha \in \mathbb{R}^{*}, \ (1 + u(x))^{\alpha} – 1 \underset{x \rightarrow a}{\sim} \alpha u(x) \quad \text{(en particulier : } \sqrt{1 + u(x)} – 1 \underset{x \rightarrow a}{\sim} \frac{1}{2} u(x)) \)
- \(\tan(u(x)) \underset{x \rightarrow a}{\sim} u(x) \)
- \( \sin(u(x)) \underset{x \rightarrow a}{\sim} u(x) \)
- \( 1 – \cos(u(x)) \underset{x \rightarrow a}{\sim} \frac{u(x)^2}{2} \)
- \( \arcsin(u(x)) \underset{x \rightarrow a}{\sim} u(x) \)
- \( \arctan(u(x)) \underset{x \rightarrow a}{\sim} u(x) \)
- \(\sinh(u(x)) \underset{x \rightarrow a}{\sim} u(x) \)
- \( \tanh(u(x)) \underset{x \rightarrow a}{\sim} u(x) \)
- \( \cosh(u(x)) – 1 \underset{x \rightarrow a}{\sim} \frac{u(x)^2}{2} \)
Par exemple, on a :
- \( e^{\frac{1}{x}} – 1 \underset{x \rightarrow +\infty}{\sim} \frac{1}{x} \)
- \( \ln(a + \sin(x)) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} \sin(x) \), donc \( \ln(1 + \sin(x)) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} x \)
Dans cette direction, on peut appliquer cette dernière propriété aux suites numériques :
Soit \( (U_n) \) une suite à valeurs dans \( \mathbb{R} \) ou \( \mathbb{C} \), telle que \( \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} U_n = 0 \).
On a dans ce cas :
- \( e^{U_n} – 1 \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} U_n \)
- \(\ln(1 + U_n) \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} U_n \)
- \( \forall \alpha \in \mathbb{R}^*, \quad (1 + U_n)^\alpha – 1 \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \alpha U_n \). En particulier, \( \sqrt{1 + U_n} – 1 \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \frac{U_n}{2} \)
- \( \tan(U_n) \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} U_n \)
- \( \sin(U_n) \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} U_n \)
- \(1 – \cos(U_n) \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \frac{U_n^2}{2} \)
- \( \arcsin(U_n) \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} U_n \)
- \(\arctan(U_n) \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} U_n \)
- \( \sinh(U_n) \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} U_n \)
- \( \tanh(U_n) \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} U_n \)
- \( \cosh(U_n) – 1 \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \frac{U_n^2}{2} \)