Dans cet article, nous présenterons la formule de la dérivée de la fonction arctangente, puis nous en fournirons une démonstration rigoureuse. Enfin, nous proposerons plusieurs exemples de calcul de la dérivée de Arctan u, où u est une fonction dérivable.
1) Formule de la dérivée de Arctan
La fonction arctangente est dérivable sur \( \mathbb{R} \) et sa dérivée est donnée par la formule suivante :
\[
\forall x \in \mathbb{R}, \quad Arctan'(x) = \frac{1}{1 + x^2}
\]
2) Démonstration de la formule de la dérivée de l'arctangente
Commençons par justifier que la fonction Arctan est dérivable sur \( \mathbb{R} \).
La fonction arctangente est la bijection réciproque de la restriction de la fonction tangente à l’intervalle \( \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ \).
Autrement dit, \( Arctan = \left(\tan_{\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[}\right)^{-1} \).
Par conséquent, Arctan est définie sur \( \mathbb{R} \) et à valeurs dans \( \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ \), c’est-à-dire : \( Arctan : \mathbb{R} \rightarrow \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ \)
Or, on sait que la fonction tangente est dérivable sur \( \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ \), et que : \(
\forall x \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[,\quad \tan'(x) = 1 + \tan^2(x)
\)
La dérivée de \( \tan \), notée \( \tan’ \), ne s’annule donc pas sur cet intervalle.
D’après le théorème des fonctions réciproques, la fonction Arctan est dérivable sur \( \mathbb{R} \).
Cherchons maintenant la formule de sa dérivée.
On a :
\(
\forall x \in \mathbb{R}, \quad Arctan'(x) = \left[\left(\tan_{\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[}\right)^{-1}\right]'(x)
\)
Ce qui donne par le théorème des fonctions réciproques :
\( \begin{align} \forall x \in \mathbb{R}, \quad
Arctan'(x) & = \frac{1}{\tan'(Arctan(x))} \\ & = \frac{1}{1 + \tan^2(Arctan(x))} \\ & = \frac{1}{1 + x^2} \end{align}
\)
Ce qui achève la preuve de la formule.
Dérivée de Arctan u, où u est une fonction dérivable
Soit \(u\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I \subset \mathbb{R}\).
Par la formule de la dérivée d’une fonction composée, la fonction \(x \mapsto Arctan(u(x))\) est dérivable sur \(I\), et on a :
\[
\forall x \in I, \quad \left(Arctan(u(x))\right)’ = \frac{u'(x)}{1 + u(x)^2}
\]
Voici quelques exemples :
- \(\forall x \in \mathbb{R}, \quad \left(\operatorname{Arctan}(4x)\right)’ = \frac{4}{1 + 16x^2}\)
- \(\forall x \in \mathbb{R}, \quad \left(\operatorname{Arctan}(x^2)\right)’ = \frac{2x}{1 + x^4}\)
- \(\forall x \in\,]0, +\infty[, \quad \left(\operatorname{Arctan}(\sqrt{x})\right)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)}\)