Dans cet article, nous présentons la formule de la dérivée de la fonction Arcsinus, que nous démontrerons par la suite. Enfin, nous illustrerons son application à travers des exemples de calculs de dérivées de la forme \( \text{Arcsin}(u(x)) \), où \( u \) est une fonction dérivable.
1) Formule de la dérivée de Arcsin
La fonction arcsinus est dérivable sur l’intervalle \( ]-1,1[ \), et sa dérivée est donnée par la formule :
\[
\forall x \in ]-1,1[, \quad \text{Arcsin}'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}
\]
2) Démonstration de la formule de la dérivée de Arcsin
Commençons par justifier que Arcsin est dérivable sur \( ]-1,1[ \).
Tout d’abord, la fonction Arcsin est la bijection réciproque de la restriction de la fonction sinus à l’intervalle \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \).
Autrement dit : \( \text{Arcsin} = \left(\sin|_{[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]}\right)^{-1}
\)
Par conséquent, Arcsin est définie sur \( [-1,1] \) et prend ses valeurs dans \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \), soit : \( \text{Arcsin} : [-1,1] \rightarrow \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
\)
Or, on sait que la fonction \( \sin \) est dérivable sur \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \), et que \( \forall x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \), on a \( \sin'(x) = \cos(x) \).
La dérivée de \( \sin \) ne s’annule pas sur \( ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ \), et on a \( \sin(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[) = ]-1,1[ \).
D’après le théorème des fonctions réciproques, Arcsin est dérivable sur \( ]-1,1[ \).
Cherchons maintenant la formule de la dérivée de Arcsin.
On a : \( \forall x \in ]-1,1[, \quad \text{Arcsin}'(x) = \left( \left( \sin|_{[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]} \right)^{-1} \right)'(x)
\)
Toujours d’après le théorème des fonctions réciproques :
\(
\begin{aligned}
\forall x \in ]-1,1[, \quad \text{Arcsin}'(x) &= \frac{1}{\sin'(\text{Arcsin}(x))} \\
&= \frac{1}{\cos(\text{Arcsin}(x))}
\end{aligned}
\)
Puisque \( \forall x \in ]-1,1[, \quad \text{Arcsin}(x) \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[ \).
Alors : \( \forall x \in ]-1,1[, \quad \cos(\text{Arcsin}(x)) = \sqrt{1 – \sin^2(\text{Arcsin}(x))} = \sqrt{1 – x^2}
\)
Donc : \(
\forall x \in ]-1,1[, \quad \text{Arcsin}'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}
\)
Ce qui achève la preuve de la formule.
Remarque : La dérivée de Arcsin est strictement positive, donc Arcsin est strictement croissante sur \( ]-1,1[ \).
3) Dérivée de Arcsin u où u est une fonction dérivable
Soit \( u \) une fonction dérivable sur un intervalle \( I \subset \mathbb{R} \) tel que \( u(I) \subset ]-1,1[ \).
Par la formule de la dérivée de la composée, la fonction \( x \mapsto \text{Arcsin}(u(x)) \) est dérivable sur \( I \) et :
\[
\forall x \in I, \quad (\text{Arcsin}(u(x)))’ = \frac{u'(x)}{\sqrt{1 – u(x)^2}}
\]
Voici quelques exemples :
- \( \forall x \in ]-1,1[, \quad (\text{Arcsin}(x^2))’ = \frac{2x}{\sqrt{1 – x^4}} \)
- \( \forall x \in \left]-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right[, \quad (\text{Arcsin}(2x))’ = \frac{2}{\sqrt{1 – 4x^2}} \)