Suites numériques : exercices corrigés

Cet article rassemble une série d’exercices corrigés consacrés aux suites numériques. Il couvre notamment les opérations sur les limites, les suites et inégalités, les suites extraites, les caractérisations séquentielles de la borne supérieure et de la densité, le théorème de Bolzano-Weierstrass, les suites à valeurs complexes ainsi que les suites récurrentes linéaires.

Il s’adresse principalement aux étudiants des classes préparatoires scientifiques (MPSI, MP2I, PCSI, PTSI, TSI), mais reste parfaitement adapté aux élèves de prépa intégrée ou aux étudiants de première année universitaire (L1, bac+1).

L’objectif est de renforcer la compréhension des notions fondamentales tout en apportant une préparation rigoureuse aux devoirs surveillés, examens et concours.

Exercice 1 ⭐️    

Soit \((u_n)\) une suite réelle qui converge vers un réel \( \ell \).
Étudier la limite de la suite \( (\lfloor u_n \rfloor) \).

Exercice 2 ⭐️    

Soit \( x \in \mathbb{R} \), on considère la suite numérique \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}^*} \) définie par : \( \displaystyle
u_n = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n \lfloor kx \rfloor
\)

  1. Montrer que \( (u_n) \) converge vers \( x \).
  2. En déduire que \( \mathbb{Q} \) est dense dans \( \mathbb{R} \).
Exercice 3 ⭐️    

On considère les suites numériques \( (u_n) \) et \( (v_n) \) définies par : \( \displaystyle
u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}, \quad v_n = u_n + \frac{1}{n!n}
\)

  1. Montrer que \( (u_n) \) et \( (v_n) \) convergent vers une même limite notée \( e \).
  2. En déduire que \( e \notin \mathbb{Q} \).
Exercice 4 ⭐️    
  1. Soit \( (u_n) \) une suite réelle à termes strictement positifs. On suppose que : \( \displaystyle
    \lim_{n \to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \ell \in ]1, +\infty]
    \)
    a) Montrer que \( \displaystyle  \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty \)
    b) En déduire la limite de la suite \( \left( \frac{n^n}{n!} \right) \)
  2. Soit \( (v_n) \) une suite réelle à termes non nuls, telle que : \(  \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{v_{n+1}}{v_n} = \ell \in ]-1, 1[ \)
    a) Montrer que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = 0 \)
    b) Soit \( a \in \mathbb{R} \). Déterminer \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{a^n}{n!} \)
  3. Soit \( (w_n) \) une suite réelle à termes non nuls telle que : \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{w_{n+1}}{w_n} = 1 \)
    Peut-on conclure sur la limite de \( (w_n) \) ?
Exercice 5 ⭐️    

On considère la fonction \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) définie par : \(
f(x) = \begin{cases} |x| & \text{si } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \\\\ |x| + 1 & \text{si } x \in \mathbb{Q} \end{cases}
\)

On pose \( A = \{ f(x) \mid x \in \mathbb{R} \} \)

  1. \( A \) admet-elle une borne supérieure ?
  2. a) Justifier que \( A \) admet une borne inférieure.
    b) Déterminer \( \inf A \).
Exercice 6 ⭐️    

Soit \( A = \left\{ \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \mid (n, m) \in (\mathbb{N}^*)^2 \right\} \)

Justifier l’existence puis déterminer la borne supérieure et la borne inférieure de \( A \).

Exercice 7 ⭐️    

Soit \( A = \left\{ \frac{x}{\lfloor x |x| \rfloor} \mid x \in [1, +\infty[ \right\} \)

  1. Montrer que \( A \) est borné.
  2. Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure de \( A \).
Exercice 8 ⭐️    

On considère l’ensemble : \( A = \left\{ \frac{\lfloor n \sqrt{2} \rfloor}{n} \mid n \in \mathbb{N}^* \right\} \)

  1. a) Montrer que \( A \) est minoré par 1.
    b) En déduire \( \inf A \).
  2. a) Montrer que \( \forall n \in \mathbb{N}^*, \ \sqrt{2} – \frac{1}{n} < \frac{\lfloor n \sqrt{2} \rfloor}{n} \leq \sqrt{2} \).
    b) Justifier que \( A \) admet une borne supérieure.
    c) Déterminer \( \sup A \).
    d) \( A \) admet-elle un plus grand élément ?
Exercice 9 ⭐️    

Soit \( A \) une partie non vide et bornée de \( \mathbb{R} \). Montrer que : \( \displaystyle
\sup_{(x, y) \in A^2} |x – y| = \sup(A) – \inf(A)
\)

Exercice 10 ⭐️    

Soit \( A \) une partie majorée de \( \mathbb{R} \) contenant au moins deux éléments, et soit \( a \in A \).

  1. Montrer que si \( \sup(A \setminus \{a\}) > a \), alors \( \sup(A \setminus \{a\}) = \sup(A) \).
  2. Montrer que si \( \sup(A \setminus \{a\}) < \sup(A) \), alors \( \sup(A) = a \).
Exercice 11 ⭐️    

Soient \( A \) et \( B \) deux parties non vides et majorées de \( ]0, +\infty[ \). On note : \(
AB = \{ ab \mid a \in A, b \in B \}
\)

  1. Montrer que \( AB \) possède une borne supérieure.
  2. Déterminer \( \sup(AB) \).
Exercice 12 ⭐️    

Soient \( A \) et \( B \) deux parties non vides de \( ]0, +\infty[ \).

  1. On suppose que \( A \) est majorée et que \( B \) admet un minorant strictement positif. On note : \(
    \frac{A}{B} = \left\{ \frac{a}{b} \mid a \in A, b \in B \right\}
    \)
    a) Montrer que \( \frac{A}{B} \) possède une borne supérieure.
    b) Déterminer \( \sup\left( \frac{A}{B} \right) \).
  2. On suppose que \( B \) est majorée.
    a) Montrer que \( \frac{A}{B} \) possède une borne inférieure.
    b) Déterminer \( \inf\left( \frac{A}{B} \right) \).
Exercice 13 ⭐️    

Soient \( A \) et \( B \) deux parties non vides de \( \mathbb{R} \). On note : \(
A + B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B \}
\)

  1. On suppose que \( A \) et \( B \) sont majorées.
    a) Montrer que \( A + B \) possède une borne supérieure.
    b) Déterminer \( \sup(A + B) \) en fonction de \( \sup(A) \) et \( \sup(B) \).
  2. On suppose que \( A \) et \( B \) sont minorées.
    a) Montrer que \( A + B \) possède une borne inférieure.
    b) Déterminer \( \inf(A + B) \).
Exercice 14 ⭐️ (Une autre démonstration du théorème de Bolzano-Weierstrass)

Soit \( (u_n) \) une suite réelle. On pose : \(
E = \left\{ n \in \mathbb{N} \mid \forall p \in \mathbb{N}, \ n < p \Rightarrow u_n < u_p \right\}
\)

  1. Montrer que si \( E \) est infini, alors on peut extraire de \( (u_n) \) une suite strictement croissante.
  2. Montrer que si \( E \) est fini, alors on peut extraire de \( (u_n) \) une suite décroissante.
  3. Redémontrer le théorème de Bolzano-Weierstrass.
Exercice 15 ⭐️    

Soit \( \varphi \) une application injective de \( \mathbb{N}^* \) dans lui-même.

Étudier la limite de la suite \( (H_n) \) définie pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \) par : \( \displaystyle
H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{\varphi(k)}{k^2}
\)

Exercice 16 ⭐️    

Soit \( A \) une partie non vide et majorée de \( \mathbb{R} \), telle que \( \sup(A) \notin A \).

Montrer qu’il existe une suite strictement croissante d’éléments de \( A \) qui converge vers \( \sup(A) \).

Exercice 17 ⭐️    

Soit \((u_n)\) une suite complexe telle que \( \lim |u_n| = +\infty \).

A-t-on forcément \( \lim | Re(u_n)| = +\infty \) ou \( \lim |  Im(u_n)| = +\infty \) ?

Exercice 18 ⭐️ (Autour de la moyenne de Césaro)

Soit \((u_n)\) une suite réelle et \((v_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) la suite définie par :
\( \displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^*, \quad v_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} u_k \)

On dit que \((v_n)\) est la moyenne de Césaro de \((u_n)\).

  1. Cas particulier où \((u_n)\) est monotone et convergente :
    On suppose que \((u_n)\) est croissante et converge vers un réel \( \ell \).
    a) Montrer que \((v_n)\) est croissante.
    b) Montrer que \((v_n)\) est majorée et en déduire qu’elle converge vers un réel \( L \).
    c) Établir que : \( \forall n \in \mathbb{N}^*, \quad v_{2n} \geq \frac{u_n + v_n}{2} \).
    d) En déduire que \( \ell = L \).
    e) Étudier le cas où \((u_n)\) est décroissante et minorée.
  2. Cas général
    a) Soit \( \ell \in \mathbb{R} \). Montrer que si \( \lim u_n = \ell \), alors \( \lim v_n = \ell \). La réciproque est-elle vraie ?
    b) Montrer que si \( \lim u_n = +\infty \), alors \( \lim v_n = +\infty \). La réciproque est-elle vraie ?
    c) Montrer que si \( \lim u_n = -\infty \), alors \( \lim v_n = -\infty \). La réciproque est-elle vraie ?
    d) Montrer que si \((u_n)\) est monotone et que \((v_n)\) admet une limite \( \ell \in \overline{\mathbb{R}} \), alors \( \lim u_n = \ell \).
  3. Applications :
    a) Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que \( \lim (u_{n+1} – u_n) = \ell \in \overline{\mathbb{R}} \). Montrer que : \( \lim \frac{u_n}{n} = \ell \)
    b) Soit \((u_n)\) une suite réelle strictement positive telle que \( \lim \frac{u_{n+1}}{u_n} = \ell \in [0, +\infty] \). Montrer que : \( \lim \sqrt[n]{u_n} = \ell \)
  4. Théorème de Césaro généralisé
    Soit \((\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite réelle strictement positive telle que : \( \displaystyle \lim \sum_{k=1}^{n} \alpha_k = +\infty \) et soit \( \ell \in \overline{\mathbb{R}} \).
    Montrer que si \( \lim u_n = \ell \), alors : \( \displaystyle  \lim \frac{\sum_{k=1}^{n} \alpha_k u_k}{\sum_{k=1}^{n} \alpha_k} = \ell \)
Exercice 19 ⭐️ (Divergence de la suite harmonique)

On considère la suite \((H_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\), dite suite harmonique, définie par : \( \displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \)

  1. a) Montrer que \( \forall n \in \mathbb{N}^*, \quad H_{2n} – H_n \geq \frac{1}{2} \).
    b) En déduire que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} H_n =+\infty \)
  2. Prouver que : \( \forall t \in ]-1, +\infty[, \quad \ln(1+t) \leq t \).
  3. a) On introduit les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par : \( u_n = H_n – \ln(n+1), \quad v_n = H_n – \ln(n) \)
    Montrer que ces suites sont adjacentes.
    b) En déduire qu’il existe un réel \( \gamma \in ]0, 1[ \) tel que : \( \lim (H_n – \ln n) = \gamma \)
Exercice 20 ⭐️ (Suites de Cauchy et théorème du point fixe)

On dit qu’une suite réelle \((u_n)\) est de Cauchy si : \( \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n, p \geq n_0, \quad |u_n – u_p| \leq \varepsilon \)

  1. Montrer que toute suite réelle convergente est de Cauchy.
  2. Montrer que toute suite de Cauchy est convergente.
  3. Application 1 :
    On pose :  \( \displaystyle  \forall n \in \mathbb{N^*}, \  H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \). Montrer que la suite \((H_n)\) diverge.
  4. Application 2 : Théorème du point fixe
    Soient \( a, b \in \mathbb{R} \) avec \( a < b \), et \( f : [a, b] \to [a, b] \) une application telle que : \( \exists k \in [0, 1[, \forall x, y \in [a, b], \quad |f(x) – f(y)| \leq k |x – y| \) (On dit que \( f \) est contractante.)
    Montrer que \( f \) admet un unique point fixe.
Exercice 21 ⭐️    
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