En mathématiques, une somme télescopique est une somme de la forme \( \displaystyle \sum_{k=p}^{n} a_{k+1}-a_{k} \) où \( (a_{k})_{k \in \mathbb{N}} \) est une suite de nombres réels ou complexes.
Il s’agit donc d’une somme dont chaque terme est la différence de deux termes consécutifs d’une même suite.
La formule de la somme télescopique expliquée et démontrée
Si \( (a_{k})_{k \in \mathbb{N} } \) est une suite de nombres réels ou complexes alors on a la formule suivant :
\( \displaystyle \sum_{k=p}^{n} a_{k+1}-a_{k} =a_{n+1} – a_{p}\)
La démonstration de cette formule est la suivante :
\( \displaystyle \begin{align} \sum_{k=p}^{n} a_{k+1}-a_{k} &= \sum_{k=p}^{n} a_{k+1} -\sum_{k=p}^{n} a_{k} \text{ (Par linéarité de la somme) } \\ &= \sum_{k=p+1}^{n+1} a_{k} -\sum_{k=p}^{n} a_{k} \text{ ( Par un changement d’indice) } \\ &= \left( a_{n+1} + \sum_{k=p+1}^{n} a_{k} \right) – \left( a_{p}+ \sum_{k=p+1}^{n} a_{k} \right) \\ &= a_{n+1} – a_{p} \end{align} \)
Dans la formule \( \displaystyle \sum_{k=p}^{n} a_{k+1}-a_{k} =a_{n+1} – a_{p}\) le télescopage vient du fait que les termes « intérieurs » s’annulent.
Voici un exemple simple :
\(
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{5}(a_{k+1} – a_k)
&= (a_2 – a_1) + (a_3 – a_2) + (a_4 – a_3) + (a_5 – a_4) + (a_6 – a_5) \\
&= -a_1 + a_2 – a_2 + a_3 – a_3 + a_4 – a_4 + a_5 – a_5 + a_6 \\
&= a_6 – a_1
\end{aligned}
\)
Tous les termes s’annulent sauf le premier \( -a_1 \) et le dernier \( +a_{6} \).
Somme télescopique, exemples
Voici quelques exemples de sommes télescopiques :
- \( \displaystyle \sum_{k=p}^{n} a_{k-1} – a_{k} = a_{p-1} – a_{n} \)
- \( \displaystyle \sum_{k=p}^{n} a_{k+2} – a_{k+1} = a_{n+2} – a_{p+1} \)
- \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1} – \frac{1}{k}= \frac{1}{n+1}-1 \)
- \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \ln (k+1) – \ln (k) = \ln (n+1) \)
Exercices corrigés sur les sommes télescopiques
Exercice 1 ⭐️
Calculer la somme : \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} \)
Indications
Utiliser un télescopage en écrivant \( \frac{1}{k(k+1)} = a_{k+1} -a_{k} \)
Corrigé
\( \displaystyle
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}
= \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} – \frac{1}{k+1} \right)
\)
C’est une somme télescopique : tous les termes vont s’annuler deux à deux, sauf le premier et le dernier.
\( \displaystyle
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1 – \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}
\)
Exercice 2 ⭐️
Calculer la somme : \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \ln \left( 1+\frac{1}{k} \right) \)
Indications
Écrire sous la forme d’une somme télescopique : \( \ln \left( 1+\frac{1}{k} \right) = a_{k+1} -a_{k} \)
Corrigé
\( \displaystyle
\sum_{k=1}^{n} \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right)
= \sum_{k=1}^{n} \ln\left( \frac{k+1}{k} \right)
= \sum_{k=1}^{n} \left( \ln(k+1) – \ln(k) \right)
\)
On reconnaît une somme télescopique :
\( \displaystyle
\sum_{k=1}^{n} \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right) = \ln(n+1) – \ln(1) = \ln(n+1)
\)
Exercice 3 ⭐️
Calculer la somme : \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k \cdot k! \)
Indications
Écrire sous la forme d’une somme télescopique : \( k \cdot k! = a_{k+1} -a_{k} \)
Corrigé
\( \displaystyle
\sum_{k=1}^{n} k \cdot k! = \sum_{k=1}^{n} \big[(k+1) \cdot k! – k! \big] = \sum_{k=1}^{n} (k+1)! – k!
\)
Par un télescopage :
\( \displaystyle
\sum_{k=1}^{n} k \cdot k! = (n+1)! – 1
\)
Exercice 4 ⭐️
Calculer la somme : \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{k}{(k+1)!} \)
Indications
Utiliser un télescopage
Corrigé
On a : \(
\frac{k}{(k+1)!} = \frac{(k+1) – 1}{(k+1)!} = \frac{k+1}{(k+1)!} – \frac{1}{(k+1)!}
\)
Mais on sait que : \( \frac{k+1}{(k+1)!} = \frac{1}{k!} \)
Donc : \(
\frac{k}{(k+1)!} = \frac{1}{k!} – \frac{1}{(k+1)!}
\)
Ainsi : \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{k}{(k+1)!} = \sum_{k=0}^{n} \left( \frac{1}{k!} – \frac{1}{(k+1)!} \right)
\)
Par télescopage : \( \displaystyle
\sum_{k=0}^{n} \frac{k}{(k+1)!} = \boxed{1 – \frac{1}{(n+1)!}}
\)
Exercice 5 ⭐️
Calculer la somme : \( \displaystyle \sum_{k=2}^{n} \ln \left( 1-\frac{1}{k^{2}} \right) \)
Indications
Utiliser un télescopage
Corrigé
On a : \(
1 – \frac{1}{k^2} = \frac{k^2 – 1}{k^2} = \frac{(k-1)(k+1)}{k^2}
\)
Donc : \(
\begin{aligned} \ln\left(1 – \frac{1}{k^2}\right) & = \ln\left( \frac{(k-1)(k+1)}{k^2} \right) \\ &= \ln(k-1) + \ln(k+1) – 2\ln(k) \end{aligned}
\)
Ainsi :
\(
\begin{aligned}
\sum_{k=2}^{n} \ln\left(1 – \frac{1}{k^2}\right)
&= \sum_{k=2}^{n} \left[ \ln(k-1) – \ln(k) \right] + \sum_{k=2}^{n} \left[ \ln(k+1) – \ln(k) \right] \\
&= \left(\ln(1) – \ln(n)\right) + \left(\ln(n+1) – \ln(2)\right) \text{ (par télescopage) } \\
&= \boxed{\ln\left( \frac{n+1}{2n} \right)}
\end{aligned}
\)
Exercice 6 ⭐️
Calculer la somme : \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k(k+1)(k+2)} \)
Indications
Utiliser un télescopage
Corrigé
Exercice 7 ⭐️
Calculer la somme : \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k}}{4 k^{4}-1} \)
Indications
Utiliser une somme télescopique