Maîtrisez la logique mathématique à travers une série d’exercices corrigés portant sur la manipulation des quantificateurs, la négation des assertions, l’implication, les équivalences logiques, ainsi que les principaux types de raisonnement : contraposée, raisonnement par l’absurde, disjonction des cas, analyse-synthèse, et récurrence (simple, multiple et forte).
Un excellent support d’entraînement pour les étudiants en classes préparatoires (CPGE – MPSI, MP2I, PCSI, PTSI, TSI…) ou en première année d’études supérieures (prépa intégrée, L1, bac+1).
Comprendre les quantificateurs, les connecteurs logiques et la négation d'une assertion :
Exercice 1 ⭐️
Soit \( f \) une fonction de \( \mathbb{R} \) vers \( \mathbb{R} \).
Traduire en termes de quantificateurs les expressions suivantes :
1) \( f \) est bornée.
2) \( f \) est paire.
3) \( f \) ne s’annule pas.
4) \( f \) n’est pas la fonction nulle.
5) \( f \) est périodique.
6) \( f \) est strictement décroissante.
7) \( f \) n’a jamais les mêmes valeurs en deux points distincts.
8) \( f \) atteint toutes les valeurs de \( \mathbb{Z}. \)
9) \( f \) ne peut s’annuler qu’une seule fois.
10) \( f \) présente un maximum.
11) \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \)
12) \( \displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = -\infty \)
Indications
Corrigé
Exercice 2 ⭐️
Soient \( I \) un intervalle de \( \mathbb{R} \) non vide et \( f : I \rightarrow \mathbb{R}\) une fonction à valeurs réelles définie sur \(I \).
Exprimez la négation des assertions suivantes :
1) \(\forall x \in I,\quad f(x) \neq 0 \)
2) \( \forall y \in \mathbb{R}, \exists x \in I, f(x)=y \)
3) \( \exists M \in \mathbb{R}, \forall x \in I,\quad | f(x)| \leq M \)
4) \( \forall x, y \in I, \quad x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y) \)
5) \( \forall x, y \in I, \quad f(x)=f(y) \Rightarrow x=y \)
6) \(\forall x \in I, \quad f(x)>y \Rightarrow x \leq 0 \)
Indications
Corrigé
Exercice 3 ⭐️
On considère la proposition \( (P) \ : \ \forall a \in \mathbb{R}, \forall b \in \mathbb{R}, \quad a b \leq a \Rightarrow (a \leq 0 \quad ou \quad b \geq 1). \)
1) Écrire l’implication réciproque de (P).
2) Écrire la contraposée de (P).
3) Écrire la négation de (P).
4) La proposition (P) est-elle vraie ou fausse ?
5) L’implication réciproque de (P) est-elle vraie ?
Indications
Corrigé
Raisonnement par l'absurde
Exercice 4 ⭐️⭐️
Soit p un nombre premier, montrer que \( \sqrt p \) est irrationnel.
Autrement dit, montrer que : \( \forall p \in \mathbb{P}, \: \sqrt p \notin \mathbb{Q} \)
Indications
Corrigé
Exercice 5 ⭐️⭐️
Montrer que l’ensemble des nombres premiers est infini.
Indications
Corrigé
Exercice 6 ⭐️⭐️
Montrer que \( \frac{ \ln 2 }{ \ln 3 } \) est irrationnel. C’est-à-dire \( \frac{ \ln 2 }{ \ln 3} \notin \mathbb{Q} \)
Indications
Corrigé
Exercice 7 ⭐️⭐️
1) Montrer que \( \sqrt 2 \notin \mathbb{Q} \)
2) En déduire que \( \sqrt 2 + \sqrt 3 \notin \mathbb{Q} \)
Indications
Corrigé
Raisonnement par disjonction des cas :
Exercice 8 ⭐️
Montrer que : \( \forall a,b \in \mathbb{R}, \ max(a,b)= \frac{a+b+|a-b|}{2} \ et \ min(a,b)= \frac{a+b-|a-b|}{2} \)
Indications
Corrigé
Exercice 9 ⭐️
Montrer que : \( \forall n \in \mathbb{N}, \ \frac{n^2 \left(n^{2}+1\right)}{2} \in \mathbb{N} \)
Indications
Corrigé
Exercice 10 ⭐️⭐️
Montrer que : \( \exists a,b \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}, \ a^b \in \mathbb{Q} \)
Indications
On admet que \( \sqrt{2} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \)
Corrigé
Raisonnement par analyse-synthèse
Exercice 11 ⭐️⭐️⭐️
Montrer que toute fonction de \( \mathbb{R} \) dans \( \mathbb{R} \) peut se décomposer de manière unique comme somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.
Indications
Corrigé
Exercice 12 ⭐️⭐️⭐️
Déterminer toutes les applications de \( \mathbb{N} \) dans \( \mathbb{R} \) vérifiant : \( \forall a, b \in \mathbb{N}, f(a+b)=f(a)+f(b) \)
Indications
Corrigé
Exercice 13 ⭐️⭐️⭐️
Déterminer toutes les fonctions \( f \) de \(\mathbb{R} \) dans \( \mathbb{R} \) telles que : \( \forall x,y \in \mathbb{R}, \quad f(x)f(y)=f(xy)+x+y \)
Indications
Corrigé
Exercice 14 ⭐️⭐️⭐️
Déterminer toutes les fonctions \( f \) de \( \mathbb{R} \) dans \( \mathbb{R} \) telles que : \( \forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x)+xf(1-x)=1+x \)
Indications
Corrigé
Exercice 15 ⭐️⭐️⭐️
Déterminer toutes les fonctions \( f \) de \(\mathbb{R} \) dans \( \mathbb{R} \) telles que : \( \forall x,y \in \mathbb{R}, \quad f(x)f(y)=x+y \)
Indications
Corrigé
Raisonnement par récurrence (simple, double et forte)
Exercice 16 ⭐️⭐️
Montrer par récurrence les propriétés suivantes :
1) \( \displaystyle \forall n \in \mathbb{N}, \quad \sum_{k=0}^{n} k ! \leq(n+1) ! \)
2) \( \forall n \in \mathbb{N}, \quad 10^{n}-1 \) est divisible par 9.
Indications
Corrigé
1)
Pour \( n=0 \) :
\( \sum_{k=0}^{0} k !=0 !=1 \ et \ (0+1) !=1 !=1 \)
D’où \( \sum_{k=0}^{0} k ! \leq(0+1) ! \)
Soit \( n \in \mathbb{N} \). On suppose que \( \sum_{k=0}^{n} k ! \leqslant(n+1) ! \)
\( \sum_{k=0}^{n+1} k !=\sum_{k=0}^{n} k !+(n+1) ! \leqslant(n+1) !+(n+1) ! \).
\( \sum_{k=0}^{n+1} k ! \leqslant 2 \cdot(n+1) ! \leqslant(n+2)(n+1) ! \leqslant(n+2) ! \).
On conclut, par le principe de la récurrence simple, que \( \forall n \in \mathbb{N}, \sum_{k=0}^{n} k ! \leqslant(n+1) ! \).
2)
Pour \(n=0 \) :
\( 10^{0}-1=1-1=0 \) et on a alors \( 9 \mid 10^{0}-1 \).
Soit \( n \in \mathbb{N} \). On suppose que 9 divise \(10^{n}-1\).
\(10^{n+1}-1=10 \cdot 10^{n}-1=(9+1) \cdot 10^{n}-1=9 \cdot 10^{n}+10^{n}-1\).
On a \( 9 \mid 9.10^{n} \) et \(9 \mid 10^{n}-1 \), donc \( 9 \mid 9 \cdot 10^{n}+10^{n}-1 \).
Ce qui prouve que \( 9 / 10^{n+1}-1 \).
On conclut, par le principe de la récurrence simple, que \( \forall n \in \mathbb{N}, 9 \mid 10^{n}-1 \).
Exercice 17 ⭐️⭐️
On considère la suite \( \left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) définie par :
\( \displaystyle u_{0}=1 \text { et } \forall n \in \mathbb{N} \quad u_{n+1}=\frac{2}{n+1} \sum_{k=0}^{n} u_{k} u_{n-k} \)
Montrer que : \( \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n}=2^{n} \)
Indications
Utiliser une récurrence forte.
Corrigé
Exercice 18 ⭐️⭐️
On considère la suite \( \left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) définie par :
\( u_{0}=0, u_{1}=1 \) et \( \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+2}=\frac{u_{n+1}+u_{n}}{2}+1 \)
Montrer que la suite \( \left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) est strictement croissante.
Indications
La suite \( (u_{n} ) \) est strictement croissante si \( \forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n} < u_{n+1} \).
Faire une récurrence double.
Corrigé
Exercice 19 ⭐️⭐️⭐️
Montrer que \( \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \exists(p, q) \in \mathbb{N}^{2}, n=2^{p}(2 q+1) \)
Indications
Utiliser une récurrence forte. Dans l’étape d’hérédité, distinguer les cas selon que \( n+1 \) est pair ou impair.
Corrigé
Exercice 20 ⭐️⭐️⭐️
Montrer que tout entier \( n \geq 2 \) se décompose en produit de nombres premiers.
Indications
Utiliser une récurrence forte. Lors de l’étape d’hérédité, distinguer les cas selon que \( n+1 \) est un nombre premier ou non.
Corrigé
Exercice 21 ⭐️
Montrer que pour tout entier \( n \geq 8 \), il existe \( (a, b) \in \mathbb{N}^{2} \) tels que \( n=3 a+5 b \).
Indications
Corrigé
Exercice 22 ⭐️
Montrer que : \( \forall n \in \mathbb{N},(1+\sqrt{2})^{n}+(1-\sqrt{2})^{n} \in \mathbb{N} \)
Indications
Corrigé
Exercice 23 ⭐️
On considère la suite \( (u_{n} )_{n \in \mathbb{N} } \) définie par : \( u_{0}=1 \ et \ \forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+1}= \sum_{k=0}^{n} \frac {u_{k}}{k!} \)
Montrer que : \( \forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n} \in \mathbb{Q} \)
Indications
Corrigé
Exercice 24 ⭐️
Soit \( (u_{n} )_{n \in \mathbb{N} } \) une suite à valeurs dans \( \mathbb{N} \) telle que : \( \begin{cases} u_{2} =2 \\ (u_{n} ) \ est \ strictement \ croissante \\ \forall p,q \in \mathbb{N}, \ u_{pq} = u_{p} u_{q} \end{cases} \)
Montrer que : \( \forall n \in \mathbb{N} , \ u_{n} =n \)
Indications
Corrigé
Exercice 25 ⭐️
Montrer que : \( \forall n \in \mathbb{N}^*, \quad
\cos\left( \frac{\pi}{2^{n+1}} \right)
= \frac{1}{2} \underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots + \sqrt{2}}}}_{\text{n radicaux}} \)
Indications
Corrigé
Exercice 26 ⭐️
Montrer que : \( \displaystyle \forall n \in \mathbb{N}, \ \prod_{k=0}^{n} (2k+1)! \geq ((n+1)!)^{n+1} \)
Indications
Corrigé
Exercice 27 ⭐️
Montrer que : \( \forall n \in \mathbb{N^{*}}, \ \forall x_{1},…,x_{n} \in \left]0, +\infty \right[, \ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x_{k}} \geq n^{2} \)